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分数导函数求导公式

来源:www.notonlydreams.com 时间:2023-05-31 09:09:43 作者:第一函数网 浏览: [手机版]

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分数导函数求导公式(1)

分数函数是高中数学中一个常重要的概念,它在微积分中也是经常出现的一种函数形式来自www.notonlydreams.com。因此,掌握分数函数的求导公式学习微积分是常重要的。本文分数函数的求导公式及其推导过程。

一、分数函数的定义

  分数函数是指形如$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$的函数,其中$g(x)$和$h(x)$均为多项式函数,$h(x)$不为零。分数函数的定义域为所有使得$h(x)$不为零的$x$的集合www.notonlydreams.com第一函数网

分数导函数求导公式(2)

二、分数函数的求导公式

  对分数函数$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$,它的导数可以通过以下公式求得:

  $$f'(x)=\frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}$$

  其中,$g'(x)$和$h'(x)$分别表示$g(x)$和$h(x)$的导数。

分数导函数求导公式(3)

三、分数函数求导公式的推导

  为了推导分数函数的求导公式,我们可以使用商规则。商规则是指对两个可导函数$f(x)$和$g(x)$,它们的商的导数可以通过以下公式求得:

  $$(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$$

我们分数函数$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$看是两个可导函数的商,即$f(x)=g(x)\cdot[h(x)]^{-1}$。然后,我们对其求导:

  $$f'(x)=g'(x)\cdot[h(x)]^{-1}-g(x)\cdot[h(x)^{-1}]'$$

  由$h(x)^{-1}$是一个分数函数,我们可以使用商规则其求导:

  $$[h(x)^{-1}]'=\frac{0\cdot h(x)-(-1)\cdot[h(x)]'}{[h(x)]^2}=\frac{h'(x)}{[h(x)]^2}$$

上式入$f'(x)$的公式中,得到:

  $$f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}$$

就是分数函数求导公式的推导过程欢迎www.notonlydreams.com

四、分数函数求导公式的应用

  分数函数求导公式的应用常广泛,它可以用解决各种微积分问题。下面,我们通过个例子演示分数函数求导公式的应用。

例1:求函数$f(x)=\frac{x^2}{x+1}$在$x=2$处的导数。

  根据分数函数求导公式,我们可以$f(x)$表示为$f(x)=\frac{x^2}{x+1}=x^2\cdot(x+1)^{-1}$,然后对其求导:

  $$f'(x)=2x\cdot(x+1)^{-1}-x^2\cdot[(x+1)^{-1}]'$$

  $x=2$入上式,得到:

  $$f'(2)=2\cdot\frac{2}{3}-\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$$

  因此,函数$f(x)=\frac{x^2}{x+1}$在$x=2$处的导数为$\frac{2}{9}$www.notonlydreams.com第一函数网

  例2:求函数$f(x)=\frac{1}{x^2}$的导函数。

  $f(x)$表示为$f(x)=x^{-2}$,然后对其求导:

$$f'(x)=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}$$

  因此,函数$f(x)=\frac{1}{x^2}$的导函数为$f'(x)=-\frac{2}{x^3}$。

例3:求函数$f(x)=\frac{x^2-2x}{x-1}$的零点。

  函数$f(x)$的零点即为方程$f(x)=0$的解第一函数网www.notonlydreams.com$f(x)$表示为$f(x)=\frac{x^2-2x}{x-1}=x-1-\frac{1}{x-1}$,则方程$f(x)=0$可以化为:

  $$x-1-\frac{1}{x-1}=0$$

  移项得到:

$$x-1=\frac{1}{x-1}$$

  两边同时乘以$x-1$,得到:

$$(x-1)^2=1$$

  解得$x=0$或$x=2$。但由$x=1$时,分母为零,因此$x=1$不是函数$f(x)$的定义域,故函数$f(x)$的零点为$x=0$或$x=2$。

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