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奇函数和偶函数积分

来源:www.notonlydreams.com 时间:2024-05-12 21:41:00 作者:第一函数网 浏览: [手机版]

微积分中,奇函数和偶函数是两个重要第.一.函.数.网奇函数是指满足 $f(-x)=-f(x)$ 函数,而偶函数是指满足 $f(-x)=f(x)$ 函数。两类函数积分中着不同性质,本文将介绍奇函数和偶函数积分规律。

奇函数和偶函数积分(1)

奇函数积分

  对于奇函数 $f(x)$,以下性质:

1. 奇函数积分区间可以取为 $[-a,a]$,即对于任正实数 $a$, $\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$原文www.notonlydreams.com

证明:将积分区间变为 $[0,a]$,

$$

\begin{aligned}

  \int_{-a}^{a}f(x)dx &= \int_{-a}^{0}f(x)dx + \int_{0}^{a}f(x)dx \\

  &= -\int_{0}^{a}f(-x)dx + \int_{0}^{a}f(x)dx \\

&= 0

  \end{aligned}

$$

  其中第二个等式是因为奇函数定义,第三个等式是因为积分区间对称。

2. 奇函数积分可以通过换元法化为偶函数积分。

证明:设 $u=-x$,则 $du=-dx$,从而

$$

\begin{aligned}

\int_{-a}^{a}f(x)dx &= \int_{a}^{-a}f(-u)(-du) \\

&= \int_{-a}^{a}f(-u)du \\

  &= -\int_{-a}^{a}f(u)du

  \end{aligned}

  $$

  因为 $f(-u)$ 是偶函数,所以第二个等式成立;因为积分区间对称,所以第三个等式成立第+一+函+数+网

奇函数和偶函数积分(2)

偶函数积分

对于偶函数 $f(x)$,以下性质:

1. 偶函数积分区间可以取为 $[-a,a]$,即对于任正实数 $a$, $\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$。

证明:将积分区间变为 $[0,a]$,

  $$

  \begin{aligned}

  \int_{-a}^{a}f(x)dx &= \int_{-a}^{0}f(x)dx + \int_{0}^{a}f(x)dx \\

  &= \int_{0}^{a}f(-x)dx + \int_{0}^{a}f(x)dx \\

  &= 2\int_{0}^{a}f(x)dx

  \end{aligned}

$$

其中第二个等式是因为积分区间对称,第三个等式是因为偶函数定义。

  2. 偶函数积分可以通过换元法化为奇函数积分来自www.notonlydreams.com

  证明:设 $u=-x$,则 $du=-dx$,从而

  $$

\begin{aligned}

\int_{-a}^{a}f(x)dx &= \int_{a}^{-a}f(-u)(-du) \\

  &= \int_{-a}^{a}f(-u)du \\

  &= \int_{-a}^{0}f(u)du + \int_{0}^{a}f(u)du \\

  &= 2\int_{0}^{a}f(u)du

\end{aligned}

  $$

  因为 $f(-u)$ 是偶函数,所以第二个等式成立;因为积分区间对称,所以第三个等式成立;最后步是将积分区间变为 $[0,a]$,因为偶函数 $[-a,0]$ 上积分等于 $[0,a]$ 上积分。

奇函数和偶函数积分中着不同性质,需要分别处理。对于奇函数,可以取积分区间为 $[-a,a]$,并且可以通过换元法化为偶函数积分第_一_函_数_网。对于偶函数,可以取积分区间为 $[-a,a]$,并且可以通过换元法化为奇函数积分。些性质实际应用中用,可以简化积分计算。

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