首页 >公式函数 >复变函数积分公式推导

复变函数积分公式推导

来源:www.notonlydreams.com 时间:2024-05-15 03:45:27 作者:第一函数网 浏览: [手机版]

录一览:

复变函数积分公式推导(1)

  复变函数积分公式是复分析中的重要定理一,它将一个复变函数在一个简单闭合曲线内的积分与函数在该曲线所围成的区域内的性质联系起来www.notonlydreams.com。本文将绍复变函数积分公式的推导

一、格林公式

  复变函数积分公式的推导需要用到格林公式,即:

$$\oint_{\gamma}(Pdx+Qdy)=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$

  中,$\gamma$为一简单闭合曲线,$D$为$\gamma$所围成的区域,$P$和$Q$是复变函数$f(z)=P(x,y)+iQ(x,y)$的部和虚部jpw

复变函数积分公式推导(2)

二、复变函数积分公式

  设$f(z)$在$\gamma$内解析,即$f(z)$在$\gamma$内处处可导,则有:

$$\oint_{\gamma}f(z)dz=0$$

证明:

将$f(z)$分解为部和虚部:

  $$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$$

  则有:

$$\oint_{\gamma}f(z)dz=\oint_{\gamma}(u+iv)(dx+idy)$$

根据格林公式,有:

  $$\oint_{\gamma}f(z)dz=\iint_D\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)dxdy+i\iint_D\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\right)dxdy$$

由于$f(z)$在$\gamma$内解析,因此它满足柯西-黎曼方

  $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$

因此,上式中的第二个积分为$0$,即:

$$\oint_{\gamma}f(z)dz=\iint_D\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)dxdy=0$$

证毕。

复变函数积分公式推导(3)

三、复变函数积分公式的推导

设$f(z)$在$\gamma$内解析,$z_0$为$\gamma$内任意一,则有:

  $$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$$

中,$a_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$欢迎www.notonlydreams.com

对于$n\geq1$,有:

$$a_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(z)-f(z_0)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$$

  令$g(z)=\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$,则$g(z)$在$z_0$处解析,因此存在$r>0$,使得$g(z)$在以$z_0$为圆心,$r$为半径的圆内解析。于是,根据柯西积分定理,有:

  $$\oint_{C_r}\frac{g(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz=\frac{2\pi i}{n!}g^{(n)}(z_0)$$

中,$C_r$为以$z_0$为圆心,$r$为半径的圆的正向边第+一+函+数+网

将$g(z)$展开为幂数:

$$g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}b_n(z-z_0)^n$$

  则有:

  $$\frac{g^{(n)}(z_0)}{n!}=b_n$$

因此,有:

$$a_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(z)-f(z_0)}{(z-z_0)^{n+1}}dz=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_r}\frac{g(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz=b_n$$

  于是,有:

  $$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}b_n(z-z_0)^n+f(z_0)$$

  将上式代入积分公式中,有:

$$\oint_{\gamma}f(z)dz=\oint_{\gamma}\sum_{n=0}^{\infty}b_n(z-z_0)^ndz+\oint_{\gamma}f(z_0)dz$$

  对于第二个积分,有:

$$\oint_{\gamma}f(z_0)dz=0$$

对于第一个积分,有:

  $$\oint_{\gamma}\sum_{n=0}^{\infty}b_n(z-z_0)^ndz=\sum_{n=0}^{\infty}b_n\oint_{\gamma}(z-z_0)^ndz$$

  由于$\gamma$是一简单闭合曲线,因此有:

  $$\oint_{\gamma}(z-z_0)^ndz=0,\quad n\neq-1$$

  因此,有:

$$\oint_{\gamma}f(z)dz=b_{-1}\oint_{\gamma}\frac{1}{z-z_0}dz=2\pi ib_{-1}$$

  将$b_{-1}$代入上式,即得到复变函数积分公式:

$$\oint_{\gamma}f(z)dz=2\pi i\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{z-z_0}dz=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{z-z_0}dz$$

  证毕。

四、总结

  本文绍了复变函数积分公式的推导jpw。该公式将一个复变函数在一个简单闭合曲线内的积分与函数在该曲线所围成的区域内的性质联系起来,是复分析中的重要定理一。

0% (0)
0% (0)
版权声明:《复变函数积分公式推导》一文由第一函数网(www.notonlydreams.com)网友投稿,不代表本站观点,版权归原作者本人所有,转载请注明出处,如有侵权、虚假信息、错误信息或任何问题,请尽快与我们联系,我们将第一时间处理!

我要评论

评论 ( 0 条评论)
网友评论仅供其表达个人看法,并不表明好好孕立场。
最新评论

还没有评论,快来做评论第一人吧!
相关文章
  • 函数公式基本定理——数学的基础

    引言函数公式基本定理是数学中的重要定理之一,它在数学的各个领域都有广泛应用。本文将从函数公式基本定理的定义、性质和应用三个方面进行详细介绍,希望能够帮助读者更好地理解和应用这一定理。定义函数公式基本定理,又称为唯一分解定理,是指任何一个大于1的自然数都可以唯一地分解成若干个质数的乘积。

    [ 2024-05-14 21:47:14 ]
  • 编辑公式或函数时(如何提高英语写作能力)

    介绍英语作为一种全球通用语言,对于我们的学习和工作都有着重要的作用。而英语写作能力则是我们在日常生活中不可或缺的一项技能。本文将为大家介绍如何提高英语写作能力。提高英语写作能力的方法1. 多读多写阅读和写作是提高英语写作能力的最基本方法。通过阅读大量英文文章,我们可以积累更多的词汇和语法知识,同时也能提高我们的阅读理解能力。

    [ 2024-05-14 21:09:24 ]
  • 如何克服写作障碍,提高写作效率

    写作是一项需要不断练习和提高的技能,但是很多人在写作过程中会遇到各种障碍,例如缺乏灵感、无法集中注意力、拖延等问题。这些问题会影响写作效率,让人感到沮丧和无助。本文将介绍一些克服写作障碍的方法,帮助你提高写作效率。1. 制定计划写作前先制定一个详细的计划,包括写作的目的、主题、内容、结构和时间安排等。

    [ 2024-05-14 20:19:51 ]
  • 三角函数完能公式(现代科技对人类社会的影响)

    随着现代科技的不断发展,它对人类社会的影响也越来越深远。科技的进步带来了许多新的机遇和挑战,同时也对人类社会造成了一定的负面影响。科技给人类带来的机遇首先,现代科技的进步为人类带来了巨大的机遇。比如,互联网的出现让人们可以随时随地获取各种信息,从而更好地了解世界和自己。

    [ 2024-05-14 15:42:42 ]
  • 二次函数求最值的公式_如何在家庭中建立良好的沟通模式

    在现代社会中,家庭沟通是非常重要的。良好的家庭沟通模式可以帮助家庭成员更好地理解彼此,增进彼此之间的信任和理解,从而建立更加和谐的家庭关系。然而,由于各种原因,许多家庭存在沟通障碍,这使得家庭成员之间的关系变得紧张和疏离。因此,如何在家庭中建立良好的沟通模式是一个非常重要的问题。

    [ 2024-05-14 12:36:43 ]
  • 二次函数方程公式法

    二次函数是高中数学中比较重要的一章,掌握二次函数方程的解法是学好这一章的关键。其中,公式法是一种简单而有效的解法,本文将详细介绍二次函数方程公式法的原理、步骤和注意事项。一、二次函数方程公式法的原理二次函数方程的一般形式为 $y=ax^2+bx+c$,其中 $a\neq0$。我们要求解方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根。

    [ 2024-05-14 08:47:54 ]
  • 如何提高学习效率?_如何判断函数的单调性公式

    在当今社会,学习已经成为了人们必不可少的一部分。无论是在学校还是在工作中,我们都需要不断地学习新的知识和技能,以适应不断变化的环境。然而,很多人在学习过程中遇到了困难,无法高效地掌握所学内容,导致学习效率低下。本文将分享一些提高学习效率的方法,帮助读者更好地学习。1. 制定合理的学习计划

    [ 2024-05-14 03:27:50 ]
  • 一个函数有多种积分公式

    在数学中,积分是一种重要的运算方式,它可以将一个函数在一定范围内的取值加起来,得到一个数值。不同的函数可能有不同的积分公式,但是有些函数却可以使用多种不同的积分公式来进行计算。本文将探讨这种现象,并举例说明。基本积分公式在介绍多种积分公式之前,我们先来回顾一下基本积分公式。对于一个函数$f(x)$,它的积分可以表示为:

    [ 2024-05-14 03:04:40 ]
  • 函数公式hyp(如何提高英语口语水平?)

    英语作为全球通用的语言,对于我们的职场和学术生涯都有着重要的影响。然而,很多人在学习英语的过程中遇到了口语难题,无法流利地表达自己的想法。那么,如何提高英语口语水平呢?本文将为大家分享一些有效的方法。1. 多听多说要想提高英语口语,必须要有大量的听说练习。可以通过看英语电影、听英语广播、和外国人交流等方式来提高自己的听说能力。

    [ 2024-05-13 23:44:34 ]
  • 连续随机向量分布函数公式(如何在家里打造一个健康的生活环境)

    在当今繁忙的生活中,我们经常忽略了环境对我们身体和精神健康的影响。一个健康的生活环境可以让我们更加舒适和放松,有助于提高我们的生产力和生活质量。在这篇文章中,我们将探讨如何在家里打造一个健康的生活环境。1.保持空气清新空气质量对我们的健康有着重要的影响。尤其是在城市中,空气中的污染物质和细菌会对我们的呼吸系统造成不良影响。

    [ 2024-05-13 15:28:56 ]