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函数极限的性质及其推论

来源:www.notonlydreams.com 时间:2024-05-15 06:24:08 作者:第一函数网 浏览: [手机版]

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函数极限的性质及其推论(1)

  函数极限数学中的重要概念,它在微积分、实分析领域中都有着广泛的应用第.一.函.数.网。本文将绍函数极限的定义、性质及其推论,帮助读者更地理解这一概念。

一、函数极限的定义

函数极限指当自变量趋于某一值时,函数取值趋近于某一值的现象。具体说,设函数$f(x)$在$x_0$的某个去心邻域内有定义,如果对于任意给定的正数$\varepsilon$,都存在正数$\delta$,使得当$0<|x-x_0|<\delta$时,有$|f(x)-A|<\varepsilon$,那么就称函数$f(x)$在$x_0$处有极限$A$,记作$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$。

二、函数极限的性质

  函数极限具有以下性质:

  1.唯一性:如果$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$存在,则极限值唯一第一函数网

  2.局部有界性:如果$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$,则存在一个有限数$M$,使得当$x$在$x_0$的某个去心邻域内时,有$|f(x)|\leq M$。

3.局部保号性:如果$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$,且$A>0$(或$A0$(或$f(x)<0$)。

  4.局部保号性的推论:如果$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$,且$A\neq0$,则存在$x_0$的某个去心邻域,使得当$x$在该邻域内时,$f(x)$与$A$同号。

  5.局部保号性的推论:如果$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$,且$f(x)$在$x_0$的某个去心邻域内恒大于(或恒小于)$0$,则$A$与该恒定符号相同NKY

  6.函数极限的四则运算:设$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$,$\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=B$,则

  (1)$\lim\limits_{x\to x_0}(f(x)+g(x))=A+B$;

  (2)$\lim\limits_{x\to x_0}(f(x)-g(x))=A-B$;

(3)$\lim\limits_{x\to x_0}(f(x)g(x))=AB$;

(4)如果$B\neq0$,则$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{A}{B}$。

7.函数极限的复合运算:设$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$,$\lim\limits_{y\to A}g(y)=B$,则$\lim\limits_{x\to x_0}g(f(x))=B$。

函数极限的性质及其推论(2)

三、函数极限的推论

函数极限的性质可以导出一些重要的推论,这里绍两个常见的推论。

  1.极限的保号性:如果$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A>0$(或$A0$(或$f(x)<0$)第+一+函+数+网

  证明:由局部保号性的性质可知,存在$x_0$的某个去心邻域,使得当$x$在该邻域内时,$f(x)$与$A$同号。由于$A>0$(或$A<0$),所以$f(x)$与$0$的符号相同。因此,$f(x)$在该邻域内恒大于(或恒小于)$0$。

  2.极限的唯一性:如果$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$,$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=B$,则$A=B$第+一+函+数+网

  证明:假设$A\neq B$,不妨设$A

  $$

B-A=|B-A|<2\varepsilon=|B-A|

  $$

  !因此,假设不成立,即$A=B$第~一~函~数~网

  结语

  本文绍了函数极限的定义、性质及其推论,望能对读者理解和掌握这一重要概念有所帮助。在学习过程中,们还需要注意理论与实践的结合,注重实问题的分析和解决。

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