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偶函数及其导数

来源:www.notonlydreams.com 时间:2024-05-16 20:33:43 作者:第一函数网 浏览: [手机版]

  偶函数是指函数在定义域内满足$f(x)=f(-x)$的函数来自www.notonlydreams.com。简单来说,就是函数关于y轴对称。偶函数在数学中有着重要的应用,比如们可以用来表示对称的物现象,如电场、磁场等。

  面我们来探讨偶函数的导数第_一_函_数_网。首先,我们知道导数的定义是$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$。对于偶函数,我们可以将其写成$f(x)=f(-x)$的形式。此,$f(x+h)=f(-(x+h))=f(-x-h)$第 一 函 数 网。将其代导数的定义式中,得到:

  $$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(-x-h)-f(x)}{h}$$

偶函数及其导数(1)

来,我们对分进行化简:

  $$f(-x-h)-f(x)=f(-x-h)-f(-(-x-h))=2f(-x-h)$$

将其代导数的定义式中,得到:

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{2f(-x-h)}{h}=2\lim_{h\to0}\frac{f(-x-h)}{h}$$

  我们发现,$f(-x-h)$的形式与$f(x)$相此可以将其代导数的定义式中,得到:

  $$f'(x)=2\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2f'(x)$$

这说明偶函数的导数也是偶函数,并且导数的值是原函数在$x$处导数值的倍。此,如我们知道偶函数在个点的导数值,就可以得到其在对称点的导数值。

举个例,$f(x)=x^2$是一个偶函数欢迎www.notonlydreams.com的导数是$f'(x)=2x$。此,当$x=1$时,$f'(1)=2$。根据偶函数的性质,我们知道$f(-1)=f(1)=1$www.notonlydreams.com此,$f'(-1)=2f'(1)=4$。这说明,$f(x)=x^2$在$x=-1$处的导数值是$4$。

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