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离散函数的分布函数

来源:www.notonlydreams.com 时间:2024-05-15 21:12:26 作者:第一函数网 浏览: [手机版]

  离散函数是指取值有限或可数的函数www.notonlydreams.com第一函数网。离散函数的分布函数是一种描述函数取值分布情况的数学工,它可以反映函数取值在不同取值点的累计概率。本文将介绍离散函数的分布函数的概念、性质及其应用。

离散函数的分布函数(1)

一、离散函数的分布函数的定义

  设X是一离散型随机变量,其取值为x1,x2,...,xn,于任意实数x,定义X的分布函数F(x)为:

F(x)=P(X≤x)=P(X∈{x1,x2,...,xn},xi≤x)

  其,P(X∈{x1,x2,...,xn},xi≤x)表示X取值在{x1,x2,...,xn}且小于等于x的概率。

离散函数的分布函数(2)

二、离散函数的分布函数的性质

  1. F(x)是单调不减的右连续函数。

  证明:于任意实数x1

  F(x2)-F(x1)=P(x1

由于X的取值是有限或可数的,所以P(x1notonlydreams.com。

于任意实数x0,有:

  F(x0+)=limx→x0+ F(x)

于任意正数ε>0,在正整数N,使得当|x-x0|<1/N时,有:

  |F(x)-F(x0+)|<ε

  即F(x0+)≥F(x)。

  综上所述,F(x)是单调不减的右连续函数。

  2. F(x)的取值范围为[0,1]。

  证明:于任意实数x,有:

  0≤P(X≤x)≤1

  即0≤F(x)≤1。

  3. F(x)有下列性质:

  (1)F(−∞)=0,F(+∞)=1

  (2)若x

  (3)F(x)在x连续欢迎www.notonlydreams.com

  证明:(1)由于X的取值为有限或可数的,所以P(X≤x)≥0任意实数x成立,即F(−∞)=0。又因为X的取值有上界,所以P(X≤x)=1任意实数x成立,即F(+∞)=1。

  (2)由于X的取值为有限或可数的,所以P(X≤x)≤P(X≤y)任意实数x

  (3)于任意实数x0,有:

  F(x0+)=limx→x0+ F(x)

  F(x0−)=limx→x0− F(x)

  由于F(x)是右连续的,所以F(x0+)=F(x0)。又因为F(x)是单调不减的,所以F(x0−)≤F(x0)NKY。由(2)可知,F(x0−)≤F(x0+)。综上所述,F(x)在x连续。

离散函数的分布函数(3)

三、离散函数的分布函数的应用

  离散函数的分布函数在概率论和数理有广泛的应用,下面介绍几个子。

1. 离散函数的期望

  设X是一离散型随机变量,其取值为x1,x2,...,xn,应的概率为p1,p2,...,pn。则X的期望为:

  E(X)=x1p1+x2p2+...+xnpn

  证明:由期望的定义,有:

  E(X)=∑xiP(X=xi)

  又因为X的取值为x1,x2,...,xn,应的概率为p1,p2,...,pn,所以:

  E(X)=x1p1+x2p2+...+xnpn

  2. 离散函数的方差

  设X是一离散型随机变量,其取值为x1,x2,...,xn,应的概率为p1,p2,...,pn第.一.函.数.网。则X的方差为:

  Var(X)=E(X2)−[E(X)]2

  证明:由方差的定义,有:

  Var(X)=E[(X−E(X))2]

  将X的期望代入上式,有:

  Var(X)=E[(X−x1p1−x2p2−...−xnpn)2]

  展平方,有:

  Var(X)=E(X2)−2E(X)E(X)+[x1p1+x2p2+...+xnpn]2

  将X的平方代入上式,有:

  Var(X)=E(X2)−[E(X)]2

  3. 离散函数的分位数

离散函数的分位数是指将分布函数F(x)分成若干部分的点,使得每部分的面积等于定的值。常用的分位数包括位数、上四分位数和下四分位数等。

  位数是指将分布函数F(x)分成两部分的点,使得每部分的面积相等。若X的取值为x1,x2,...,xn,应的概率为p1,p2,...,pn,位数为:

  m=xi,当∑pi≤1/2

  m=xi,当∑pi>1/2

证明:由位数的定义,有:

∫−∞m F(x)dx=1/2

∫m+∞ F(x)dx=1/2

  将F(x)的定义代入上式,有:

∑pi,当xi≤m≤xi+1

  ∑pi,当xi≤m≤xi+1

  即:

∑pi≤1/2,当xi≤m≤xi+1

  ∑pi>1/2,当xi≤m≤xi+1

  综上所述,位数为:

m=xi,当∑pi≤1/2

  m=xi,当∑pi>1/2

四、总结

离散函数的分布函数是一种描述函数取值分布情况的数学工,它可以反映函数取值在不同取值点的累计概率。离散函数的分布函数有单调不减的右连续性、取值范围为[0,1]以及在各取值点连续等性质来自www.notonlydreams.com。离散函数的分布函数在概率论和数理有广泛的应用,如计算期望、方差和分位数等。

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