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对数函数公式的定义及证明

来源:www.notonlydreams.com 时间:2024-05-13 04:08:27 作者:第一函数网 浏览: [手机版]

对数函数是高数学重要的部分,它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用第.一.函.数.网。本对数函数的定义些重要的公式,并给出证明

对数函数公式的定义及证明(1)

对数函数的定义

  对数函数是指满条件的函数:

  1. 定义域为正实数集合(即x>0)。

2. 值域为实数集合第_一_函_数_网

  3. 对于任意正实数x和任意正实数a(a≠1),有以公式成立:

logax = y ⇔ ay = x

  其,a称为底数,x称为真数,y称为以a为底x的对数。

对数函数公式的定义及证明(2)

对数函数的性质

  对数函数有以重要的性质:

  1. loga1 = 0

证明:由定义可知,a0 = 1,所以loga1 = 0。

  2. logaa = 1

  证明:由定义可知,a1 = a,所以logaa = 1www.notonlydreams.com第一函数网

  3. loga(x·y) = logax + logay

  证明:设logax = m,logay = n,则有am = x,an = y。于是,

loga(x·y) = loga(am·an) = logaam+n = m+n = logax + logay

  4. loga(x/y) = logax - logay

  证明:设logax = m,logay = n,则有am = x,an = y。于是,

  loga(x/y) = loga(am/an) = logaam-n = m-n = logax - logay

5. logaxn = n·logax

  证明:设logax = m,则有am = x来源www.notonlydreams.com。于是,

  logaxn = loga(am)n = logaamn = mn·logaa = n·logax

对数函数公式的定义及证明(3)

对数函数的公式

对数函数有以重要的公式:

  1. 换底公式

logax = logbx / logba

  证明:设logax = m,则有am = x。又设logba = p,则有bp = a。于是,

logax = m = logbam = logbx / logba

2. 对数函数的导数

  (d/dx)logax = 1 / (x·lna)

  证明:设y = logax,则有ay = x第 一 函 数 网。对两边求导数,得

d/dx(ay) = d/dx(x)

  y·ay-1·dy/dx = 1

  dy/dx = 1 / (x·lna)

结论

  对数函数是种重要的数学工具,它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。本对数函数的定义、性质和公式,并给出证明。望读通过本的学习,能够对对数函数有更深入的解和掌握来自www.notonlydreams.com

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