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探究幂函数比大小的技巧

来源:www.notonlydreams.com 时间:2024-05-13 08:17:39 作者:第一函数网 浏览: [手机版]

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探究幂函数比大小的技巧(1)

  幂函数是初数学比较基础的一函数类型,它的形式为 $y=a^x$,其 $a$ 为底数,$x$ 为指数www.notonlydreams.com。在比较两个幂函数的大小时,我们需要掌技巧,本文将介绍一常用的幂函数比大小的方法。

方法一:比较底数大小

  两个幂函数的底数相同时,我们可通过比较它们的指数来确定大小关系。具体地说,若 $x_1>x_2$,则 $a^{x_1}>a^{x_2}$;若 $x_1-1$ 时,$x+1>x$,因此 $2^{x+1}>2^x$来自www.notonlydreams.com

探究幂函数比大小的技巧(2)

方法二:比较指数大小

  两个幂函数的底数同时,我们可通过比较它们的指数和底数的关系来确定大小关系。具体地说,若 $a_1>a_2$,则 $x>0$ 时,$a_1^x>a_2^x$; $x2$,我们只需比较它们的指数和底数的关系。 $x>0$ 时,$3^x>2^x$; $x<0$ 时,$3^x<2^x$欢迎www.notonlydreams.com。因此,$y=3^x$ 大于 $y=2^x$ 的范围是 $(-\infty,0)$。

探究幂函数比大小的技巧(3)

方法三:取对数比较

  两个幂函数都易比较大小时,我们可将它们取对数后比较大小。具体地说,我们可将 $y=a^x$ 取对数得到 $\log_a y=x$XgpW。因此,比较 $y_1=a^{x_1}$ 和 $y_2=b^{x_2}$ 的大小关系,可将它们取对数得到 $\log_a y_1=x_1$ 和 $\log_b y_2=x_2$,然后比较 $\dfrac{\log_a y_1}{x_1}$ 和 $\dfrac{\log_b y_2}{x_2}$ 的大小关系。如果 $\dfrac{\log_a y_1}{x_1}>\dfrac{\log_b y_2}{x_2}$,则 $y_1>y_2$;如果 $\dfrac{\log_a y_1}{x_1}\dfrac{\log_3 3}{\log_2 2}=\dfrac{1}{\log_2 3}$,所 $\dfrac{\log_2 y_1}{\sqrt{2}}>\dfrac{\log_3 y_2}{\sqrt{3}}$,即 $y_1>y_2$。

方法四:综合运用

  在实际比较,我们可能需要综合运用上述方法来确定幂函数的大小关系第~一~函~数~网。例如,比较 $y_1=2^{x+1}$ 和 $y_2=3^x$ 的大小关系,我们可比较它们的底数大小,因为 $20$ 时,$y_1> y_2$。 $x\dfrac{\log_2 2}{\log_3 2}=\log_2 3$,所 $x<0$ 时,$\dfrac{\log_2 y_1}{x+1}<\dfrac{\log_3 y_2}{x}$,即 $y_1

$$

  y_1>y_2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (x>0)\\

  y_1

$$

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