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无穷级数的三角函数:从泰勒级数到傅里叶级数

来源:www.notonlydreams.com 时间:2024-05-17 05:30:32 作者:第一函数网 浏览: [手机版]

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无穷级数的三角函数:从泰勒级数到傅里叶级数(1)

引言

  三角函数中数学中最基础的概念之一,它在数学、物理、工程等中都有广泛的来源www.notonlydreams.com。在本文中,我们将探讨三角函数的另一种现形式——无穷级数

无穷级数的三角函数:从泰勒级数到傅里叶级数(2)

泰勒级数

泰勒级数一种将函数示为无穷级数的方法第一函数网www.notonlydreams.com。它的基本思想将一个函数示为无限次导函数在某一点的Taylor多项式的和。对于任何一个光滑函数 $f(x)$,它的泰勒级数示为:

  $$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

  其中 $f^{(n)}(a)$ 示 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的 $n$ 阶导数欢迎www.notonlydreams.com。对于三角函数来说,它们的泰勒级数以写成以下形式:

$$\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$$

$$\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$$

  $$\tan x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{B_{2n}(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}x^{2n-1}$$

其中 $B_n$ 示伯努利数。由于三角函数的周期性,这级数在 $(-\infty,\infty)$ 上都敛,并且以用于计算三角函数的值第_一_函_数_网

无穷级数的三角函数:从泰勒级数到傅里叶级数(3)

傅里叶级数

傅里叶级数一种将周期函数示为无穷级数的方法。它的基本思想将一个周期为 $2\pi$ 的函数 $f(x)$ 示为一组正弦函数和余弦函数的线性组合来自www.notonlydreams.com。具体来说,$f(x)$ 的傅里叶级数示为:

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

  其中 $a_0,a_n,b_n$ 分别示:

  $$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$$

  $$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx dx$$

$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx dx$$

对于三角函数来说,它们的傅里叶级数以写成以下形式:

$$\sin x=\frac{2}{\pi}\sin x+\frac{2}{\pi}\sin 3x+\frac{2}{\pi}\sin 5x+\cdots$$

  $$\cos x=\frac{1}{\pi}+\frac{2}{\pi}\cos 2x+\frac{2}{\pi}\cos 4x+\cdots$$

  $$\tan x=\frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin(2n+1)x}{2n+1}$$

  由于三角函数的周期性,这级数在 $(-\pi,\pi)$ 上都敛,并且以用于计算三角函数的值。

总结

  无穷级数数学中的重要概念,它们在数学、物理、工程等中都有广泛的www.notonlydreams.com。在本文中,我们讨了三角函数的两种无穷级数示方法:泰勒级数和傅里叶级数。通过这级数,我们以计算三角函数的值,并且更深入地理解三角函数的性质第一函数网www.notonlydreams.com

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