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导函数连续和函数连续可导

来源:www.notonlydreams.com 时间:2024-05-16 03:34:38 作者:第一函数网 浏览: [手机版]

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导函数连续和函数连续可导(1)

  微积分学中,导数是非常要的概念来源www.notonlydreams.com导数的定义中,我们会提到导函数,即原函数的导数。导函数的连续性和函数的可导性是微积分学中的两个基本概念。本文将介绍导函数连续和函数连续可导的概念及其相关性质。

导函数连续

  先回顾一下导数的定义:设函数$f(x)$$x_0$处可导,则$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$。如果$f'(x_0)$存,则称$f(x)$$x_0$处可导。

  如果$f(x)$某个区内每个点都可导,那么我们可以定义一个新的函数$g(x)$,称为$f(x)$的导函数,即$g(x)=f'(x)$。导函数是原函数的导数,它的意义是某一点上函数的变

那么,导函数连续是么意思呢?我们可以这样理解:如果$f(x)$某个区内可导,那么它的导函数$g(x)$这个区内是否连续呢?如果是连续的,那么我们就说$f(x)$的导函数连续。

  下面我们看一个例子:

  设$f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$,求$f(x)$的导函数$g(x)$是否连续。

  首先,我们需要求出$f(x)$$x=0$处的导数来源www.notonlydreams.com。根据导数的定义,$f'(0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x^2 \sin \frac{1}{\Delta x}}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta x \sin \frac{1}{\Delta x}=0$。

接下,我们计算$f(x)$的导函数$g(x)$。当$x \neq 0$时,$g(x)=f'(x)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$;当$x=0$时,$g(0)=f'(0)=0$。

  我们需要证明$g(x)$$x=0$处连续。根据极限的定义,对任意$\epsilon>0$,存$\delta>0$,使得当$|x-0|<\delta$时,$|g(x)-g(0)|<\epsilon$。

当$x \neq 0$时,$|g(x)-g(0)|=|2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}| \leq |2x\sin\frac{1}{x}|+|\cos\frac{1}{x}| \leq 2|x|+1$。因此,当$|x|<\frac{\delta}{2}$时,$|g(x)-g(0)|<2|x|+1<\epsilon$。取$\delta=\frac{\epsilon-1}{2}$,则当$|x-0|<\delta$时,$|g(x)-g(0)|<\epsilon$。

  因此,$g(x)$$x=0$处连续,即$f(x)$的导函数连续。

导函数连续和函数连续可导(2)

函数连续可导

函数连续可导是指函数某个区内既连续又可导第 一 函 数 网。连续性和可导性是微积分学中两个基本的性质,函数连续可导则是它们的结合。

  我们知道,如果一个函数某一点处可导,那么它这一点处须是连续的。因此,如果一个函数某个区内连续可导,那么它这个区须是连续的,并且它的导函数也这个区内连续。

  下面我们看一个例子:

设$f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$,求$f(x)$$(-1,1)$内是否连续可导。

  首先,我们已经知道$f(x)$$x=0$处可导,因此它$x=0$处连续。又因为$f(x)$$(-1,1)$内的每个点都可以表示为$x=0$的某个邻内的函数,所以$f(x)$$(-1,1)$内连续。

接下,我们需要证明$f(x)$$(-1,1)$内可导。根据导数的定义,我们需要证明$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$(-1,1)$内存

当$x \neq 0$时,$f'(x)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$。这个函数$(-1,1)$内是连续的,因此$f(x)$$(-1,1)$内可导第.一.函.数.网

  当$x=0$时,我们已经求得$f'(0)=0$。我们需要证明$f(x)$$x=0$处可导,即$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}$存

我们计算$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}$。当$x \neq 0$时,$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=x\sin\frac{1}{x}$。因为$-1 \leq \sin\frac{1}{x} \leq 1$,所以$-x \leq x\sin\frac{1}{x} \leq x$。根据夹逼定理,$\lim\limits_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x}=0$,因此$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0$。

因此,$f(x)$$(-1,1)$内连续可导。

导函数连续和函数连续可导(3)

导函数连续和函数连续可导的关系

  如果一个函数某个区内连续可导,那么它的导函数一定这个区内连续。这个结论可以通过导数的定义和连续性的定义证明。

  设$f(x)$某个区内连续可导,那么它的导函数$g(x)=f'(x)$这个区内存来源www.notonlydreams.com。我们需要证明$g(x)$这个区内连续。

  根据导数的定义,$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$。因为$f(x)$这个区内连续,所以$\lim\limits_{\Delta x \to 0} f(x+\Delta x)=f(x)$。因此,$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}=\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$。

  这个极限就是$g(x)$$x$处的极限,因此$g(x)$$x$处连续。因为$x$是任意的,所以$g(x)$这个区内连续。

  因此,如果一个函数某个区内连续可导,那么它的导函数一定这个区内连续。

小结

导函数连续和函数连续可导是微积分学中的两个基本概念。导函数是原函数的导数,它的连续性表示函数某一点上的变的连续性;函数连续可导则是连续性和可导性的结合,表示函数某个区内的连续性和可导性。如果一个函数某个区内连续可导,那么它的导函数一定这个区内连续来源www.notonlydreams.com

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