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证明多元函数连续

来源:www.notonlydreams.com 时间:2024-05-13 12:52:49 作者:第一函数网 浏览: [手机版]

  多元函数连续数学中的一个要概念,它指的一个多元函数在一点处的极限值等于该点处的函数值原文www.notonlydreams.com。在实问题中,许多函数都多元函数,例如物理中的速度、加速度等都多元函数,因此研究多元函数的连续性对于解决实问题具有要的意义。

  下面我们将从定义、性质和例子个方面来证明多元函数的连续性。

证明多元函数连续(1)

一、定义

  对于一个多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$,如果对于任意一个点$(a_1,a_2,...,a_n)$,都有:

$$\lim_{(x_1,x_2,...,x_n)\to(a_1,a_2,...,a_n)}f(x_1,x_2,...,x_n)=f(a_1,a_2,...,a_n)$$

  那么我们就说这个多元函数在点$(a_1,a_2,...,a_n)$处连续第+一+函+数+网

二、性质

  1. 多元函数的和、差、、商仍然连续的。

  对于两个连续的多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$和$g(x_1,x_2,...,x_n)$,它们的和、差、、商仍然连续的。即:

  $$f(x_1,x_2,...,x_n)\pm g(x_1,x_2,...,x_n)$$

  $$f(x_1,x_2,...,x_n)\cdot g(x_1,x_2,...,x_n)$$

  $$\frac{f(x_1,x_2,...,x_n)}{g(x_1,x_2,...,x_n)}$$

连续的多元函数原文www.notonlydreams.com

  2. 复合函数的连续性

对于两个连续的多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$和$g(x_1,x_2,...,x_n)$,如果$g(x_1,x_2,...,x_n)$在点$(a_1,a_2,...,a_n)$处连续,那么复合函数$f(g(x_1,x_2,...,x_n))$在点$(a_1,a_2,...,a_n)$处也连续。

  3. 多元函数的极限和连续性的关系

  如果一个多元函数在点$(a_1,a_2,...,a_n)$处连续,那么它在该点的极限值等于该点的函数值。

证明多元函数连续(2)

、例子

  1. $f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}$

  首先我们要证明这个函数在点$(0,0)$处连续第+一+函+数+网。我们可以通过直接计来证明:

  $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}$$

  我们可以使用极坐标变换来计这个极限:

  $$\lim_{r\to0}\frac{r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^2}=\lim_{r\to0}r\cos^2\theta\sin\theta=0$$

因此,$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0$。又因为$f(0,0)=0$,所以$f(x,y)$在点$(0,0)$处连续。

2. $f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$

样地,我们要证明这个函数在点$(0,0)$处连续JmK。我们可以使用极坐标变换来计这个极限:

  $$\lim_{r\to0}\frac{r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)}{r^2}=\cos^2\theta-\sin^2\theta$$

  这个极限存在,但它与$\theta$有关,因此存在唯一的值。因此,$f(x,y)$在点$(0,0)$处连续。

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标签:函数证明
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