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下凸函数的定义及其证明

来源:www.notonlydreams.com 时间:2024-05-13 10:22:29 作者:第一函数网 浏览: [手机版]

  下凸函数是指在定义上的任意两点线上方的函数第.一.函.数.网。它的定义与凸函数的定义相,但是下凸函数与凸函数不同,它的定义是指函数在定义上的任意两点线在函数图像下方。下凸函数在优化题中有着重要的应用,因此了下凸函数的定义及其证明是非有必要的。

下凸函数的定义及其证明(1)

下凸函数的定义

设$f(x)$是定义在$[a,b]$上的实值函数,若对任意$x_1,x_2\in[a,b]$,$x_1\neq x_2$,有$$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\geq \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$$ 其中$0\leq \lambda\leq 1$,则称$f(x)$是$[a,b]$上的下凸函数。

下凸函数的定义及其证明(2)

下凸函数的证明

下面我们来证明下凸函数的定义欢迎www.notonlydreams.com。首先我们需要知道的是,下凸函数的定义与凸函数的定义是类的,只是在线上方的条件变成了线下方的条件。因此,我们可以借鉴凸函数的证明方法。

下凸函数的定义及其证明(3)

证明思路:

  假设$f(x)$是$[a,b]$上的下凸函数,我们需要证明对任意$x_1,x_2\in[a,b]$,$x_1\neq x_2$,有$$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\geq \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$$ 其中$0\leq \lambda\leq 1$。

我们可以将$\lambda$看作是$x_1$和$x_2$之的一个权重,$\lambda x_1+(1-\lambda)x_2$可以看作是$x_1$和$x_2$的加权平均值lWzP。因此,我们可以将$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)$看作是$f(x)$在$x_1$和$x_2$之的一个加权平均值。

根据下凸函数的定义,我们可以得到$$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\geq \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$$

  这个式子的意义是,$f(x)$在$x_1$和$x_2$之的加权平均值不小$f(x)$在$x_1$和$x_2$之的线性插值。也就是说,$f(x)$在$x_1$和$x_2$之的值是下凸的。

证明过

  假设$f(x)$是$[a,b]$上的下凸函数,我们需要证明对任意$x_1,x_2\in[a,b]$,$x_1\neq x_2$,有$$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\geq \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$$ 其中$0\leq \lambda\leq 1$原文www.notonlydreams.com

我们可以将$\lambda$看作是$x_1$和$x_2$之的一个权重,$\lambda x_1+(1-\lambda)x_2$可以看作是$x_1$和$x_2$的加权平均值。因此,我们可以将$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)$看作是$f(x)$在$x_1$和$x_2$之的一个加权平均值。

  根据下凸函数的定义,我们可以得到$$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\geq \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$$

  这个式子的意义是,$f(x)$在$x_1$和$x_2$之的加权平均值不小$f(x)$在$x_1$和$x_2$之的线性插值。也就是说,$f(x)$在$x_1$和$x_2$之的值是下凸的第一函数网www.notonlydreams.com

我们可以通过反证法来证明这个结论。假设$f(x)$在$x_1$和$x_2$之的值不是下凸的,即存在一个$\lambda_0\in(0,1)$,使得$$f(\lambda_0 x_1+(1-\lambda_0)x_2)< \lambda_0 f(x_1)+(1-\lambda_0)f(x_2)$$

  我们令$$\lambda_1=\frac{\lambda_0}{2},\quad \lambda_2=\frac{1+\lambda_0}{2}$$

则有$$\lambda_1x_1+(1-\lambda_1)x_2=\frac{1}{2}(\lambda_0x_1+(1-\lambda_0)x_2)+\frac{1}{2}x_1$$

  $$\lambda_2x_1+(1-\lambda_2)x_2=\frac{1}{2}(\lambda_0x_1+(1-\lambda_0)x_2)+\frac{1}{2}x_2$$

根据下凸函数的定义,我们有$$f(\lambda_1x_1+(1-\lambda_1)x_2)\geq \lambda_1f(x_1)+(1-\lambda_1)f(\frac{1}{2}(\lambda_0x_1+(1-\lambda_0)x_2)+\frac{1}{2}x_1)$$

  $$f(\lambda_2x_1+(1-\lambda_2)x_2)\geq \lambda_2f(x_1)+(1-\lambda_2)f(\frac{1}{2}(\lambda_0x_1+(1-\lambda_0)x_2)+\frac{1}{2}x_2)$$

  $f(x)$在$x_1$和$x_2$之的值不是下凸的,因此有$$f(\lambda_0 x_1+(1-\lambda_0)x_2)< \lambda_0 f(x_1)+(1-\lambda_0)f(x_2)$$

  将$\lambda_0$代入上式,我们有$$f(\frac{1}{2}(\lambda_0x_1+(1-\lambda_0)x_2)+\frac{1}{2}x_1)<\frac{1}{2}f(x_1)+\frac{1}{2}f(x_2)$$

  $$f(\frac{1}{2}(\lambda_0x_1+(1-\lambda_0)x_2)+\frac{1}{2}x_2)<\frac{1}{2}f(x_1)+\frac{1}{2}f(x_2)$$

  将上式代入前面的两个不等式中,我们有$$f(\lambda_1x_1+(1-\lambda_1)x_2)< \lambda_1f(x_1)+(1-\lambda_1)(\frac{1}{2}f(x_1)+\frac{1}{2}f(x_2))$$

  $$f(\lambda_2x_1+(1-\lambda_2)x_2)< \lambda_2(\frac{1}{2}f(x_1)+\frac{1}{2}f(x_2))+(1-\lambda_2)f(x_2)$$

  将$\lambda_1$和$\lambda_2$代入上式,我们有$$f(\frac{1}{4}x_1+\frac{3}{4}x_2)<\frac{1}{4}f(x_1)+\frac{3}{4}f(x_2)$$

  $$f(\frac{3}{4}x_1+\frac{1}{4}x_2)<\frac{3}{4}f(x_1)+\frac{1}{4}f(x_2)$$

  这与$f(x)$是下凸函数的定义矛盾,因此假设不成立,即$f(x)$在$x_1$和$x_2$之的值是下凸的。

  结论:

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标签:定义证明
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