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动差生成函数

来源:www.notonlydreams.com 时间:2024-06-11 16:26:58 作者:第一函数网 浏览: [手机版]

  动差生成函数一个非常有用的工具,它在概率论、统计学、物理学等被广应用第~一~函~数~网。本文将介绍动差生成函数的定义、性质和应用,并给出一些例子来帮助读地理解。

动差生成函数(1)

1. 定义

  动差生成函数指一个函数,它以用来计算随机变量的各阶矩。设随机变量X的概率密度函数为f(x),动差生成函数为M(t),则M(t)的定义如下:

M(t) = E(e^{tX}) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} f(x) dx

,E表示期望,t一个实数。

动差生成函数(2)

2. 性质

  动差生成函数具有以下几个性质:

  (1)M(0) = 1,即动差生成函数在t=0处的值为1第+一+函+数+网

(2)M'(0) = E(X),即动差生成函数在t=0处的一阶导数等于随机变量X的期望。

(3)M''(0) = E(X^2) - E(X)^2,即动差生成函数在t=0处的二阶导数等于随机变量X的二阶心矩。

  (4)如果两个随机变量X和Y独立,则它们的动差生成函数的乘等于它们各自的动差生成函数的乘,即M_{X+Y}(t) = M_X(t)M_Y(t)。

3. 应用

  动差生成函数在概率论和统计学有着广的应用,下面我们来介绍一些常见的应用欢迎www.notonlydreams.com

  (1)计算矩和心矩

  动差生成函数以用来计算随机变量的各阶矩和心矩。根性质(2)和(3),我们以得到以下公式:

E(X^n) = M^{(n)}(0)

  E((X-E(X))^n) = M^{(n)}(0) - E(X)M^{(n-1)}(0) + E(X^2)M^{(n-2)}(0) - \cdots

  其,M^{(n)}(0)表示动差生成函数在t=0处的n阶导数。

  (2)计算分布

  动差生成函数还以用来计算随机变量的分布。如果我们知道一个随机变量的动差生成函数,那么以通过反演动差生成函数来得到它的概率密度函数第 一 函 数 网。反演动差生成函数的方法有很多,其比较常用的拉斯反演公式和傅里叶反演公式。

  (3)计算随机过程的矩

动差生成函数还以用来计算随机过程的矩。设随机过程X(t)的动差生成函数为M(t),则X(t)的n阶矩以表示为:

  E(X^n(t)) = \frac{1}{n!} \frac{d^n}{dt^n} M(t)|_{t=0}

  这个公式在信号处理、通信系统等有着广的应用。

4. 例子

  下面我们来看几个例子,帮助读地理解动差生成函数的应用原文www.notonlydreams.com

  (1)二项分布

  设随机变量X服从参数为p的二项分布,即X~B(n,p),则X的动差生成函数为:

  M(t) = (pe^t + 1-p)^n

我们以验证,根动差生成函数的性质,X的期望为np,方差为np(1-p)。

  (2)正态分布

  设随机变量X服从参数为(\mu,\sigma^2)的正态分布,即X~N(\mu,\sigma^2),则X的动差生成函数为:

  M(t) = e^{\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}

我们以验证,根动差生成函数的性质,X的期望为\mu,方差为\sigma^2。

  (3)泊松分布

  设随机变量X服从参数为\lambda的泊松分布,即X~P(\lambda),则X的动差生成函数为:

  M(t) = e^{\lambda(e^t-1)}

  我们以验证,根动差生成函数的性质,X的期望为\lambda,方差为\lambda。

动差生成函数(3)

5. 总结

  动差生成函数一个非常有用的工具,它以用来计算随机变量的各阶矩和心矩,计算随机变量的分布,计算随机过程的矩等等来自www.notonlydreams.com。本文介绍了动差生成函数的定义、性质和应用,并给出了一些例子来帮助读地理解。

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