首页 >导数函数 >凹函数的性质及导数

凹函数的性质及导数

来源:www.notonlydreams.com 时间:2024-06-08 12:59:49 作者:第一函数网 浏览: [手机版]

  凹函数数学中一重要的概念,它在优化、经济学、物理学等领域中都有广的应用第~一~函~数~网。本文将介绍凹函数的定义、性质以及导数的计算方

凹函数的性质及导数(1)

一、凹函数的定义

凹函数指函数图像在任意两点之间的部分都在这两点的连线的下方,即函数曲线向下凸起的函数。具说,如果函数f(x)在[a,b]区间内满足以下条件,则称f(x)凹函数:

  1. 对于任意的a≤x1第~一~函~数~网。

2. 函数f(x)在[a,b]区间内连续的。

3. 函数f(x)在[a,b]区间内导的。

二、凹函数的性质

  1. 凹函数的一阶导数单调递增,二阶导数大于等于0第一函数网www.notonlydreams.com

证明:设f(x)[a,b]区间内的凹函数,则对于任意的a≤x1

  f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2

  两边同时对x1导,得到:

f'((x1+x2)/2)≤(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)

  两边同时对x2导,得到:

  f'((x1+x2)/2)≥(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)

  将上述两式子相加,得到:

  2f'((x1+x2)/2)≤(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)+(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)

  化简得:

  2f'((x1+x2)/2)≤2(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)

  即:

f'((x1+x2)/2)≤(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)

这说明f'(x)在[a,b]区间内单调递增。

  再对f'(x)导,得到:

f''(x)=[f'(x)]'

  因为f'(x)单调递增,所以f''(x)大于等于0。

2. 凹函数在其定义域内的任意两点之间的切线斜递增的来源www.notonlydreams.com

  证明:设f(x)[a,b]区间内的凹函数,对于任意的a≤x1

f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2

  两边同时对x1导,得到:

f'((x1+x2)/2)≤(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)

  两边同时对x2导,得到:

f'((x1+x2)/2)≥(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)

  这说明函数f(x)在[a,b]区间内的任意两点之间的切线斜递增的。

凹函数的性质及导数(2)

三、凹函数的导数计算方

  对于凹函数f(x),以使用以下公式计算其导数:

  f'(x)=lim(h→0) (f(x+h)-f(x))/h

f''(x)=lim(h→0) (f'(x+h)-f'(x))/h

  其中,f'(x)表示函数f(x)在x点的导数,f''(x)表示函数f(x)在x点的二阶导数。

对于一些殊的凹函数,以使用更简单的方计算其导数www.notonlydreams.com。例如,对于指数函数y=e^x,其导数为y'=e^x,二阶导数为y''=e^x,因为指数函数凹函数。

0% (0)
0% (0)
版权声明:《凹函数的性质及导数》一文由第一函数网(www.notonlydreams.com)网友投稿,不代表本站观点,版权归原作者本人所有,转载请注明出处,如有侵权、虚假信息、错误信息或任何问题,请尽快与我们联系,我们将第一时间处理!

我要评论

评论 ( 0 条评论)
网友评论仅供其表达个人看法,并不表明好好孕立场。
最新评论

还没有评论,快来做评论第一人吧!
相关文章
  • 函数连续就可以求极限求导

    在微积分学中,求极限和求导是两个基本的概念。求极限用于研究函数在某一点的趋势,而求导则用于研究函数在某一点的变化率。在一些情况下,我们可以利用函数的连续性来简化求极限和求导的过程。一、连续函数的定义在讨论连续函数的性质之前,我们先来回顾一下连续函数的定义。若函数$f(x)$在点$x_0$处连续,则满足以下三个条件:1. $f(x_0)$存在;

    [ 2024-06-08 10:10:34 ]
  • 如何提高英语写作能力(系统的传输函数如何求导)

    英语作为全球通用语言,在各个领域都有着重要的地位。作为一名英语学习者,提高英语写作能力是非常重要的。在这篇文章中,我们将探讨一些提高英语写作能力的方法和技巧。1. 阅读阅读是提高英语写作能力的重要途径。通过阅读,可以了解不同类型的文章和不同的写作风格。阅读英文文章可以帮助我们学习新的单词、短语和句型,同时还可以提高我们的语感和语法水平。

    [ 2024-06-08 08:46:50 ]
  • 如何养成良好的阅读习惯_开根号复合函数求导公式

    阅读是一项非常重要的技能,它不仅可以帮助我们获取知识,还可以提高我们的思维能力和语言表达能力。然而,随着社交媒体和电子设备的普及,越来越多的人失去了阅读的习惯,这对他们的学习和生活都会带来负面影响。因此,养成良好的阅读习惯对于个人的发展和成功非常重要。为什么要养成良好的阅读习惯

    [ 2024-06-08 08:14:37 ]
  • 探究导数同构函数的常见类型

    在数学中,函数是一种映射关系,它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。导数是函数的一个重要概念,它描述了函数在某一点处的变化率。导数同构函数则是指在某些条件下,两个函数的导数相等。本文将探究导数同构函数的常见类型。常数函数

    [ 2024-06-08 06:05:40 ]
  • 导数对函数的影响

    在微积分中,导数是一个非常重要的概念。导数描述的是函数在某一点的变化率,可以帮助我们研究函数的性质和行为。导数对函数的影响非常大,本文将从几个方面介绍导数对函数的影响。1. 导数与函数的单调性函数的单调性描述的是函数在定义域内的变化趋势,包括单调递增和单调递减。导数可以帮助我们研究函数的单调性。

    [ 2024-06-08 05:42:47 ]
  • 函数和导数的性质

    函数和导数是高中数学中重要的概念,它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。本文将介绍函数和导数的性质,以帮助读者更好地理解和应用它们。函数的性质函数是一种映射关系,将自变量映射到因变量上。函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。

    [ 2024-06-07 17:19:06 ]
  • 高价函数求导(如何在家里打造一个舒适的工作空间)

    在过去的几个月里,由于新冠病毒的影响,许多人被迫在家工作。这种情况可能会持续一段时间,因此在家里打造一个舒适的工作空间非常重要。以下是一些有用的提示,可以帮助你在家里打造一个舒适的工作环境。选择一个合适的房间首先,你需要选择一个合适的房间作为你的工作空间。最好选择一个安静、通风、采光好的房间。如果你有一个额外的卧室或书房,那就最好了。

    [ 2024-06-07 14:09:28 ]
  • 如何培养孩子的自信心?(导数还原原函数常用公式)

    孩子的自信心是孩子成长过程中非常重要的一部分。它不仅能够让孩子更加自信地面对生活中的挑战,还能够帮助孩子更好地发展自己的潜力。然而,许多家长在教育孩子的过程中往往忽略了孩子的自信心,导致孩子在成长过程中缺乏自信,影响孩子的发展。那么,如何培养孩子的自信心呢?一、给孩子充分的关注和支持

    [ 2024-06-07 13:20:36 ]
  • cos-x的反函数求导_如何有效地管理时间,提高工作效率

    时间是我们最宝贵的资源之一,但是很多人却常常感觉时间不够用,工作效率低下。如何有效地管理时间,提高工作效率成为了很多人需要解决的问题。以下是一些提高工作效率的方法:1. 制定计划制定计划是提高工作效率的关键之一。在开始一天的工作之前,制定一个详细的计划,列出每项任务的优先级和完成时间。这样可以帮助我们更好地掌控时间,避免浪费时间在不必要的事情上。

    [ 2024-06-07 10:59:11 ]
  • 函数在某处可导(探究人类的创造力)

    人类是地球上最有创造力的物种之一,我们创造了许多令人惊叹的事物,如建筑物、艺术品、科技发明等等。但是,什么是创造力?它从哪里来?我们可以通过什么方式来激发它呢?在本文中,我们将探究这些问题,并尝试了解人类的创造力。什么是创造力?创造力是指能够产生新的、有价值的想法或物品的能力。

    [ 2024-06-07 09:22:49 ]