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探究基本初等多元函数的连续性

来源:www.notonlydreams.com 时间:2024-06-09 17:07:13 作者:第一函数网 浏览: [手机版]

  在高中数学中,我们学习了基本初等多元函数,例如二元一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等等notonlydreams.com。这些函数在数学中有着泛的应用,特别是在物理、经济、统计学等领域中。本文将探究这些函数的连续性

探究基本初等多元函数的连续性(1)

一、二元一次函数的连续性

  二元一次函数的一般形式为 $f(x,y)=ax+by+c$,中 $a,b,c$ 为常数。我们可以现,这个函数在二维平面上是一个平面,具有连续性。为了证它的连续性,我们可以使用 $\epsilon$-$\delta$ 定

假设 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续,即对于任意 $\epsilon>0$,存在 $\delta>0$,使得当 $(x,y)$ 满足 $|(x,y)-(x_0,y_0)|0$,存在 $\delta>0$,满足上述条件。

  根据二元一次函数的定,我们有:

  $$|f(x,y)-f(x_0,y_0)|=|ax+by+c-(ax_0+by_0+c)|=|a(x-x_0)+b(y-y_0)|$$

由于 $a,b$ 是常数,所以 $|a(x-x_0)+b(y-y_0)|\leqslant |a|\cdot |x-x_0|+|b|\cdot |y-y_0|$。因此,当 $|(x,y)-(x_0,y_0)|<\delta=\frac{\epsilon}{|a|+|b|}$ 时,有:

  $$|f(x,y)-f(x_0,y_0)|\leqslant |a|\cdot |x-x_0|+|b|\cdot |y-y_0|<|a|\cdot \frac{\epsilon}{|a|+|b|}+|b|\cdot \frac{\epsilon}{|a|+|b|}=\epsilon$$

因此,二元一次函数是连续的。

二、二次函数的连续性

  二次函数的一般形式为 $f(x)=ax^2+bx+c$,中 $a,b,c$ 为常数欢迎www.notonlydreams.com。我们可以现,这个函数在实数轴上是一个连续的曲线。为了证它的连续性,我们可以使用极限的定

假设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续,即 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。我们需要证,对于任意 $x_0$ 和 $\epsilon>0$,存在 $\delta>0$,满足当 $|x-x_0|<\delta$ 时,有 $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$。

  由于 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$,所以对于任意 $\epsilon>0$,存在 $\delta>0$,使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时,有 $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$。我们可以假设 $\delta<1$,因为当 $|x-x_0|\geqslant 1$ 时,$|f(x)-f(x_0)|$ 至少为 $|a|\cdot|x-x_0|(|x-x_0|-1)$,而 $|x-x_0|-1\geqslant 0$。

我们可以将 $f(x)$ 展开为 $f(x)=f(x_0)+(x-x_0)(2ax+b)+(x-x_0)^2a$。因此,当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时,有:

$$|f(x)-f(x_0)|=|(x-x_0)(2ax+b)+(x-x_0)^2a|\leqslant |x-x_0||2ax+b|+|x-x_0|^2|a|$$

  由于 $|x-x_0|<\delta<1$,所以 $|x-x_0|^2<|x-x_0|$。因此,上式可以进一步估计为:

  $$|f(x)-f(x_0)|<|x-x_0||2ax+b|+|x-x_0||a|=|x-x_0||2ax+b+a|$$

  我们需要找到一个 $\delta$,使得 $|2ax+b+a|<\frac{\epsilon}{\delta}$来自www.notonlydreams.com。如果我们令 $\delta=\min\{1,\frac{\epsilon}{2(|a|x_0+|b|+|a|)}\}$,则当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时,有:

  $$|f(x)-f(x_0)|<|x-x_0||2ax+b+a|<\delta\cdot 2(|a|x_0+|b|+|a|)<\epsilon$$

因此,二次函数是连续的。

探究基本初等多元函数的连续性(2)

三、指数函数的连续性

指数函数的一般形式为 $f(x)=a^x$,中 $a>0$ 且 $a\neq 1$。我们可以现,这个函数在实数轴上是一个连续的曲线。为了证它的连续性,我们可以使用极限的定

  假设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续,即 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。我们需要证,对于任意 $x_0$ 和 $\epsilon>0$,存在 $\delta>0$,满足当 $|x-x_0|<\delta$ 时,有 $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$。

由于 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$,所以对于任意 $\epsilon>0$,存在 $\delta>0$,使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时,有 $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$。我们可以假设 $\delta<1$,因为当 $|x-x_0|\geqslant 1$ 时,$|f(x)-f(x_0)|$ 至少为 $|a^x-a^{x_0}|$,而 $|a^x-a^{x_0}|\geqslant |a^{x_0}|\cdot |a^{x-x_0}-1|\geqslant |a^{x_0}|\cdot |x-x_0|$。

我们可以将 $f(x)$ 展开为 $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2+\cdots$,中 $f'(x)=a^x\ln a$,$f''(x)=a^x(\ln a)^2$来自www.notonlydreams.com。因此,当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时,有:

  $$|f(x)-f(x_0)|=|a^{x_0}|\cdot |a^{x-x_0}-1|\leqslant |a^{x_0}|\cdot \frac{|x-x_0|}{\ln a}(|a^{x_0}\ln a|+|\frac{a^{x_0}(\ln a)^2}{2}|\cdot |x-x_0|)$$

  由于 $|a^{x_0}\ln a|+|\frac{a^{x_0}(\ln a)^2}{2}|\cdot |x-x_0|$ 是一个常数,我们可以令 $\delta=\min\{1,\frac{\epsilon}{|a^{x_0}\ln a|+|\frac{a^{x_0}(\ln a)^2}{2}|\cdot \delta}\}$。则当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时,有:

  $$|f(x)-f(x_0)|<|a^{x_0}|\cdot \frac{\epsilon}{|a^{x_0}\ln a|+|\frac{a^{x_0}(\ln a)^2}{2}|\cdot \delta}(|a^{x_0}\ln a|+|\frac{a^{x_0}(\ln a)^2}{2}|\cdot \delta)<\epsilon$$

  因此,指数函数是连续的。

、对数函数的连续性

  对数函数的一般形式为 $f(x)=\log_a x$,中 $a>0$ 且 $a\neq 1$。我们可以现,这个函数在 $(0,+\infty)$ 上是一个连续的曲线。为了证它的连续性,我们可以使用极限的定

假设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续,即 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。我们需要证,对于任意 $x_0$ 和 $\epsilon>0$,存在 $\delta>0$,满足当 $|x-x_0|<\delta$ 时,有 $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$。

  由于 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$,所以对于任意 $\epsilon>0$,存在 $\delta>0$,使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时,有 $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$。我们可以假设 $\delta<1$,因为当 $|x-x_0|\geqslant 1$ 时,$|f(x)-f(x_0)|$ 至少为 $|\log_a x-\log_a x_0|$,而 $|\log_a x-\log_a x_0|\geqslant |\log_a e|\cdot |x-x_0|$第一函数网www.notonlydreams.com

  我们可以将 $f(x)$ 展开为 $f(x)=f(x_0)+\frac{1}{x_0\ln a}(x-x_0)+\frac{-1}{x_0^2\ln a}(x-x_0)^2+\cdots$。因此,当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时,有:

  $$|f(x)-f(x_0)|=|\frac{1}{x_0\ln a}(x-x_0)-\frac{1}{2x_0^2\ln a}(x-x_0)^2+\cdots|$$

由于 $\frac{1}{x_0\ln a}$ 和 $\frac{1}{2x_0^2\ln a}$ 是常数,我们可以令 $\delta=\min\{1,\frac{\epsilon}{|\frac{1}{x_0\ln a}|+|\frac{1}{2x_0^2\ln a}|\cdot \delta}\}$。则当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时,有:

$$|f(x)-f(x_0)|<|\frac{1}{x_0\ln a}(x-x_0)-\frac{1}{2x_0^2\ln a}(x-x_0)^2+\cdots|<\epsilon$$

  因此,对数函数是连续的。

探究基本初等多元函数的连续性(3)

总结

  基本初等多元函数是连续的,这一点在数学中具有重要的意。在实际应用中,我们可以利用这些函数的连续性来解种问题。例如,在经济学中,我们可以使用指数函数来描述物价指数的变化趋势;在物理学中,我们可以使用二元一次函数来描述物体的运动轨迹。因此,对于这些函数的连续性的握是非常重要的。

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