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函数极值点可以不可导吗?——探究极值点的可导性

来源:www.notonlydreams.com 时间:2024-06-10 17:29:33 作者:第一函数网 浏览: [手机版]

在高数学,我们学习了函数的极值点及其求法www.notonlydreams.com第一函数网般来,我们会先求出函数的导数,然后令导数为零,解出方程的根即可得函数的极值点。但是,我们是否可以在不求导数的情况下,判函数的极值点呢?这就需要探究极值点的可导性。

  首先,我们需要明确什么是极值点。极值点是函数在该点处取得最大值或最小值的点,包括局部极值全局极值第 一 函 数 网。在函数,我们般通过求导数的方法来判函数的极值点。但是,在某些情况下,函数的导数可能不存在或不连续,这时就需要考虑极值点的可导性。

  对于连续函数而言,如果在某点处取得极值,那么该点定是可导的。这是因为如果该点不可导,那么函数在该点处的导数不存在,也就无法判该点是否为极值点第~一~函~数~网。因此,我们可以得出结论:对于连续函数而言,极值点定是可导的。

但是,对于非连续函数而言,情况就有所不同。我们可以通过以下例子来明:

函数极值点可以不可导吗?——探究极值点的可导性(1)

  $$f(x)=|x|$$

  该函数在$x=0$处取得最小值0,但是在该点处不可导。这是因为在$x=0$处,左导数右导数别为$-1$$1$,不存在相同的导数第一函数网www.notonlydreams.com。因此,我们可以得出结论:对于非连续函数而言,极值点不定是可导的。

那么,对于函数而言,极值点的可导性是否是判函数极值的必要条件呢?答案是否定的。我们可以通过以下例子来明:

$$f(x)=x^2\sin\frac{1}{x}$$

该函数在$x=0$处取得极值0,但是在该点处不可导。这是因为在$x=0$处,函数的导数不存在第_一_函_数_网。但是,我们可以通过求导数的方法,求出函数在$x=0$处的左导数右导数均为0,因此$x=0$是函数的极值点。因此,我们可以得出结论:极值点的可导性不是判函数极值的必要条件。

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