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探究正切函数加余切函数最大值

来源:www.notonlydreams.com 时间:2024-06-09 12:09:49 作者:第一函数网 浏览: [手机版]

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探究正切函数加余切函数最大值(1)

正切函数和余切函数中数中的常见函数,它角函数中有的应用第一函数网。在本文中,我探究正切函数加余切函数的最大值,并通过数推导和图像分析来解决这个问题。

正切函数和余切函数

  正切函数和余切函数角函数中的两个重函数,它分别定义为:

  $$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$

  $$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$$

  其中,$\sin x$ 和 $\cos x$ 分别表示 $x$ 的正弦和余弦函数。

正切函数和余切函数的定义域为所有不等于 $\frac{\pi}{2}+k\pi$ 的实数,其中 $k$ 任意整数www.notonlydreams.com第一函数网。它的值域为所有实数。

探究正切函数加余切函数最大值(2)

正切函数加余切函数的最大值

  我考虑正切函数加余切函数的最大值,即:

$$\max_{x\in R}\{\tan x + \cot x\}$$

为了求解这个问题,我将 $\tan x + \cot x$ 转化为一个分,即:

  $$\tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$$

  因此,我的问题转化为求解 $\frac{1}{\sin x \cos x}$ 的最大值。

  我将 $\frac{1}{\sin x \cos x}$ 写成 $\frac{2}{\sin 2x}$ 的,即:

  $$\frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$$

  因此,我的问题又可转化为求解 $\frac{2}{\sin 2x}$ 的最大值第~一~函~数~网

  我知道,正弦函数的最大值为 $1$,因此 $\sin 2x$ 的最大值为 $1$。当 $\sin 2x = 1$ 时,$\frac{2}{\sin 2x}$ 的值最大,即 $\frac{2}{\sin 2x} = 2$。

因此,$\tan x + \cot x$ 的最大值为 $2$,当且仅当 $x = \frac{\pi}{4}+k\pi$,其中 $k$ 任意整数第_一_函_数_网

探究正切函数加余切函数最大值(3)

图像分析

  我通过图像来验证上述结论。

  首先,我画出 $\tan x$ 和 $\cot x$ 的图像:

  ![tan_cot_graph.png](https://i.loli.net/2021/11/04/9zJ2u5p4v7VtKsO.png)

  从图中可看出,$\tan x$ 和 $\cot x$ 的最小值分别为 $-1$ 和 $-1$,最大值分别为 $1$ 和 $1$。

  接下来,我画出 $\tan x + \cot x$ 的图像:

  ![tan_cot_sum_graph.png](https://i.loli.net/2021/11/04/1z5J7x2KbVw3FQa.png)

从图中可看出,$\tan x + \cot x$ 的最小值为 $-2$,最大值为 $2$第_一_函_数_网。当 $\tan x + \cot x = 2$ 时,$x$ 的取值为 $\frac{\pi}{4}+k\pi$。

结论

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标签:函数探究
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